(一)加法原则
引例一,从北京到上海的方法有两类:第一类坐火车,若北京到上海有早、中、晚三班火车分别记作火1、火2、火3,则坐火车的方法有3种;第二类坐飞机,若北京到上海的飞机有早、晚二班飞机,分别记作飞1、飞2。问北京到上海的交通方法共有多少种。
解:从北京到上海的交通方法共有火1、火2、火3、飞1、飞2共5种。它是由第一类的3种方法与第二类的2种方法相加而成。
一般地有下面的加法原则:
办一件事,有m类办法,其中:
第一类办法中有n1种方法;
第二类办法中有n2种方法;
……
第m类办法中有nm种方法;
则办这件事共有 种方法。
(二)乘法原则
引例二,从北京经天津到上海,需分两步到达。
第一步从北京到天津的汽车有早、中、晚三班,记作汽1、汽2、汽3
第二步从天津到上海的飞机有早、晚二班,记作飞1、飞2
问从北京经天津到上海的交通方法有多少种?
解:从北京经天津到上海的交通方法共有:
①汽1飞1,②汽1飞2,③汽2飞1,④汽2飞2,⑤汽3飞1,⑥汽3飞2。共6种,它是由第一步由北京到天津的3种方法与第二步由天津到上海的2种方法相乘3×2=6生成。
一般地有下面的乘法原则:
办一件事,需分m个步骤进行,其中:
第一步骤的方法有n1种;
第二步骤的方法有n2种;
……
第m步骤的方法有nm种;
则办这件事共有 种方法。
(三)排列(数):从n个不同的元素中,任取其中m个排成与顺序有关的一排的方法数叫排列数,记作 或 。
排列数 的计算公式为:
例如:
(四)组合(数):从n个不同的元素中任取m个组成与顺序无关的一组的方法数叫组合数,记作 或 。
组合数 的计算公式为
例如: =45
组合数有性质
(1) ,(2) ,(3)
例如:
例一,袋中有8个球,从中任取3个球,求取法有多少种?
解:任取出三个球与所取3个球顺序无关,故方法数为组合数
(种)
例二,袋中五件不同正品,三件不同次品(√√√√√×××)从中任取3件,求所取3件中有2件正品1件次品的取法有多少种?
解:第一步在5件正品中取2件,取法有
(种)
第二步在3件次品中取1件,取法有
(种)
由乘法原则,取法共有10×3=30(种)
第一章 随机事件与随机事件的概率
§1.1 随机事件
引例一,掷两次硬币,其可能结果有:
{上上;上下;下上;下下}
则出现两次面向相同的事件A与两次面向不同的事件B都是可能出现,也可能不出现的。
引例二,掷一次骰子,其可能结果的点数有:
{1,2,3,4,5,6}
则出现偶数点的事件A,点数≤4的事件B都是可能出现,也可能不出现的事件。
从引例一与引例二可见,有些事件在一次试验中,有可能出现,也可能不出现,即它没有确定性结果,这样的事件,我们叫随机事件。
(一)随机事件:在一次试验中,有可能出现,也可能不出现的事件,叫随机事件,习惯用A、B、C表示随机事件。
由于本课程只讨论随机事件,因此今后我们将随机事件简称事件。
虽然我们不研究在一次试验中,一定会出现的事件或者一定不出现的事件,但是有时在演示过程中要利用它,所以我们也介绍这两种事件。
必然事件:在一次试验中,一定出现的事件,叫必然事件,习惯用Ω表示必然事件。
例如,掷一次骰子,点数≤6的事件一定出现,它是必然事件。
不可能事件:在一次试验中,一定不出现的事件叫不可能事件,而习惯用φ表示不可能事件。
例如,掷一次骰子,点数>6的事件一定不出现,它是不可能事件。
(二)基本(随机)事件
随机试验的每一个可能出现的结果,叫基本随机事件,简称基本事件,也叫样本点,习惯用ω表示基本事件。
例如,掷一次骰子,点数1,2,3,4,5,6分别是基本事件,或叫样本点。
全部基本事件叫基本事件组或叫样本空间,记作Ω,当然Ω是必然事件。
(三)随机事件的关系
(1)事件的包含:若事件A发生则必然导致事件B发生,就说事件B包含事件A,记作 。
例如,掷一次骰子,A表示掷出的点数≤2,B表示掷出的点数≤3。∴A={1,2},B={1,2,3}。
所以A发生则必然导致B发生 。
显然有
(2)事件的相等:若 ,且 就记A=B,即A与B相等,事件A等于事件B,表示A与B实际上是同一事件。
(四)事件的运算
(1)和事件:事件A与事件B中至少有一个发生的事件叫事件A与事件B的和事件,记作: 或A+B
例如,掷一次骰子,A={1,3,5};B={1,2,3}
则和事件A+B={1,2,3,5}
显然有性质
①
②若 ,则有A+B=B
③A+A=A
(2)积事件:事件A与事件B都发生的事件叫事件A与事件B的积事件,记作:AB或A∩B
例如,掷一次骰子,A={1,3,5};B={1,2,3},则AB={1,3}
显然有性质:
①
②若 ,则有AB=A
③AA=A
(3)差事件:事件A发生而且事件B不发生的事件叫事件A与事件B的差事件,记作(A-B)
例如,掷一次骰子,A={1,3,5};B={1,2,3},则A-B={5}
显然有性质:
①
②若 ,则有A-B=Φ
③A-B=A-AB
(4)互不相容事件:若事件A与事件B不能都发生,就说事件A与事件B互不相容(或互斥)即AB=Φ
例如,掷一次骰子,A={1,3,5};B={2,4}
∴AB=Φ
(5)对立事件:事件A不发生的事件叫事件A的对立事件。记作
例如,掷一次骰子,A={1,3,5},则
显然,对立事件有性质:
①
②
③
注意:A与B对立,则A与B互不相容,反之不一定成立。
例如在考试中A表示考试成绩为优,B表示考试不及格。A与B互不相容,但不对立。
下面图1.1至图1.6用图形直观的表示事件的关系和运算,其中正方形表示必然事件或样本空间Ω。
图1.1表示事件 事件A
图1.2阴影部分表示A+B
图1.3阴影部分表示AB
图1.4阴影部分表示A-B
图1.5表示A与B互不相容
图1.6阴影部分表示
事件的运算有下面的规律:
(1)A+B=B+A,AB=BA叫交换律
(2)(A+B)+C=A+(B+C)叫结合律
(AB)C=A(BC)
(3)A(B+C)=AB+AC
(A+B)(A+C)=A+BC叫分配律
(4) 叫对偶律
例1,A,B,C表示三事件,用A,B,C的运算表示以下事件。
(1)A,B,C三事件中,仅事件A发生
(2)A,B,C三事件都发生
(3)A,B,C三事件都不发生
(4)A,B,C三事件不全发生
(5)A,B,C三事件只有一个发生
(6)A,B,C三事件中至少有一个发生
解:(1)
(2)ABC
(3)
(4)
(5)
(6)A+B+C
例2.某射手射击目标三次:A1表示第1次射中,A2表示第2次射中,A3表示第3次射中。B0表示三次中射中0次,B1表示三次中射中1次,B2表示三次中射中2次,B3表示三次中射中3次,请用A1、A2、A3的运算来表示B0、B1、B2、B3
解:(1)
(2)
(3)
(4)
例3 ,A,B,C表示三事件,用A,B,C的运算表示下列事件。
(1)A,B都发生且C不发生
(2)A与B至少有一个发生而且C不发生
(3)A,B,C都发生或A,B,C都不发生
(4)A,B,C中最多有一个发生
(5)A,B,C中恰有两个发生
(6)A,B,C中至少有两个发生
(7)A,B,C中最多有两个发生
解:(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6) 简记AB+AC+BC
(7) 简记
例4,若Ω={1,2,3,4,5,6};A={1,3,5};B={1,2,3}
求(1)A+B;
(2)AB;
(3) ;
(4) ;
(5) ;
(6) ;
(7) ,
(8) 。
解:(1)A+B={1,2,3,5};
(2)AB={1,3};
(3) ={2,4,6};
(4) ={4,5,6};
(5) ={4,6};
(6) ={2,4,5,6};
(7) ={2,4,5,6};
(8) ={4,6}
由本例可验算对偶律, = , = 正确
例5,(1)化简 ;
(2)说明AB与 是否互斥
解:(1)
(2)
例6.A,B,C为三事件,说明下列表示式的意义。
(1)ABC;
(2) ;
(3)AB;
(4)
解:(1)ABC表示事件A,B,C都发生的事件
(2) 表示A,B都发生且C不发生的事件
(3)AB表示事件A与B都发生的事件,对C没有规定,说明C可发生,也可不发生。
∴AB表示至少A与B都发生的事件
(4)
所以也可以记AB表示,ABC与 中至少有一个发生的事件。
例7.A,B,C为三事件,说明(AB+BC+AC)与 是否相同。
解:(1) 表示至少A,B发生
它表示A,B,C三事件中至少发生二个的事件。
(2) 表示A,B,C三事件中,仅仅事件A与事件B发生的事件
表示A,B,C三事件中仅有二个事件发生的事件。
因而它们不相同。
§1.2 随机事件的概率
(一)频率:(1)在相同条件下,进行了n次试验,在这n次试验中,事件A发生了nA次,则事件A发生的次数nA叫事件A发生的频数。
(2)比值nA/n称为事件A发生的频率,记作fn(A),即
历史上有不少人做过抛硬币试验,其结果见下表,用A表示出现正面的事件:
试验人 n nA fn(A)
摩根 2048 1061 0.5181
蒲丰 4040 2048 0.5069
皮尔逊 12000 6019 0.5016
从上表可见,当试验次数n大量增加时,事件A发生的频率fn(A)会稳定某一常数,我们称这一常数为频率的稳定值。例如从上表可见抛硬币试验,正面出现的事件A的频率fn(A)的稳定值大约是0.5。
(二)概率:事件A出现的频率的稳定值叫事件A发生的概率,记作P(A)
实际上,用上述定义去求事件A发生的概率是很困难的,因为求A发生的频率fn(A)的稳定值要做大量试验,它的优点是经过多次的试验后,给人们提供猜想事件A发生的概率的近似值。
粗略地说,我们可以认为事件A发生的概率P(A)就是事件A发生的可能性的大小,这种说法不准确,但人们容易理解和接受,便于应用。
下面我们不加证明地介绍事件A的概率P(A)有下列性质:
(1)0≤P(A) ≤1
(2)P(Ω)=1,P(Φ)=0
(3)若A与B互斥,即AB=Φ,则有
P(A+B)=P(A)+P(B)
若A1,A2,……,An互斥,则有
(三)古典概型:
若我们所进行的随机试验有下面两个特点:
(1)试验只有有限个不同的结果;
(2)每一个结果出现的可能性相等,
则这种试验模型叫古典概型。
例如,掷一次骰子,它的可能结果只有6个,假设骰子是均匀的,则每一种结果出现的可能性都是1/6,所以相等,这种试验是古典概型。
下面介绍古典概型事件的概率的计算公式:
设 是古典概型的样本空间,其中样本点总数为n,A为随机事件,其中所含的样本点数为r
则有公式:
例1,掷一次骰子,求点数为奇数点的事件A的概率。
解:样本空间为Ω={1,2,3,4,5,6};A={1,3,5}
∴n=6,r=3
例2.掷三次硬币,设A表示恰有一次出现正面,B表示三次都出现正面,C表示至少出现一次正面,求:
(1)P(A);
(2)P(B);
(3)P(C)
解:样本空间Ω={正正正,正正反,正反正,正反反,反正正,反正反,反反正,反反反};
(1)
(2)
(3)
由于在古典概型中,事件A的概率P(A)的计算公式只需知道样本空间中的样本点的总数n和事件A包含的样本点的个数r就足够,而不必一一列举样本空间的样本点,因此,当样本空间的样本点总数比较多或难于一一列举的时候,也可以用分析的方法求出n与r的数值即可。
例3,从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 这10个数码中,取出三个不同的数码,求所取3个数码不含0和5的事件A的概率。
解:从10个不同数码中,任取3个的结果与顺序无关,所以基本事件总数
A事件中不能有0和5,所以只能从其余8个数码中任取3个,所以A中的基本事件
例4,从1,2,3,4,5,6,7,8,9这9个数字中任取一个,放回后再取一个,求所取两个数字不同的事件A的概率。
解:(1)第一次取一个数字的方法有9种;
第二次取一个数字的方法与第一次相同也是9种;
由乘法原则,知两次所取的数字方法有9×9=92(种)
每一种取法是一个基本事件,所以n=92
(2)所取两个数字不同时,相当于从中任取两个数,其结果与顺序有关,所取取法有:
也可按(1)的乘法原则求r,第一次的取法有9种,第二次的数字与第1次不同,所以只有8种,所以取法共有9×8(种)
∴r=9×8
例5,袋中有5个白球,3个红球,从中任取2个球,
求(1)所取2个球的颜色不同的事件A的概率;
(2)所取2个球都是白球的事件B的概率;
(3)所取2个球都是红球的事件C的概率;
(4)所取2个球是颜色相同的事件的概率。
解:袋中共的8个球,从中任取2个球结果与顺序无关,所以取法共有 种,每一种取法的结果是一个基本事件,所以基本事件总数为
(1)分两步取。第一步,在5个白球中任取一个,方法数为5;第二步在3个红球中取一个,方法数为3,根据乘法原则,共有5×3种方法,即有5×3种结果。
(2)从5个白球中任取2个,结果与顺序无关
∴取法共有 (种)
∴B包含的基本事件共有r2=10
(3)从3个红球中任取2个的方法为 (种)
∴C包含的基本事件数r3=3
∴
(4)所取2个球颜色相同的有两类:
第一类:2个球都是白球的方法有 (种)
第二类:2个球都是红球的方法有 (种)
根据加法原则,所取2个球是颜色相同的方法共有10+3=13种。
∴2个球颜色相同的事件D包含r4=13种基本事件。
∴
例6,袋中有10件产品,其中有7件正品,3件次品,从中每次取一件,共取两次,√√√√√√√×××
求:
(1)不放回抽样,第一次取后不放回,第二次再取一件,而且第一次取到正品,第二次取到次品的事件A的概率。
(2)放回抽样,第一次取一件产品,放回后第二次再取一件,求第一次取到正品,第二次取到次品的事件B的概率
解(1)第一次取一件产品的方法有10种
∵不放回,∴第二次取一件产品的方法有9种
由乘法原则知,取两次的方法共有10×9种
也可以用排列数计算,因为结果与顺序有关,所以取法有 (种)
∴基本事件总数n=10×9
第一次取到正品,第二次取到次品的方法有7×3种,所以事件A包含的基本事件有:
(2)放回抽样。由于有放回,所以第一次、第二次取一件产品的方法都是10种,由乘法原则知抽取方法共有10×10=100种,所以基本事件总数
n=10×10=100
第一次取正品方法有7种,第二次取次品的方法有3种,由乘法原则,事件B包含的基本事件共有
例7,将一套有1,2,3,4,5分册的5本书随机放在书架的一排上,求1,2分册放在一起的事件A的概率。
解:(1)基本事件总数n=5×4×3×2×1(种)
或者为
(2)A包含的基本事件有 (种)
例8,掷两次骰子,求点数和为7的事件A的概率。
解:(1)基本事件总数n=6×6=36(种)
(2)A={①⑥;②⑤;③④;④③;⑤②;⑥①}
∴A包含的基本事件数r=6
例9,从1,2,3,4,5,6,7这七个数码中任取3个,排成三位数,求(1)所排成的三位数是偶数的事件A的概率。(2)所排成的三位数是奇数的事件B的概率。
解:基本事件总数 (个)
(1)所排成的三位数是偶数的取法需分两步:
第一步,取一个偶数放在个位码位置,取法有3种;
第二步,将其余6个数中任取两个排成一排,分别处于十位数和百位数码位置,共有 种方法。
根据乘法原则,事件A包含的基本事件数
(2)所排成的三位数的取法也需分两步进行;
第一步,取一个奇数放在个位码位置,有4种方法。
第二步,将其余6个数中任取两个放在十位码和百位码,方法有 种。
根据乘法原则,事件B包含的基本事件数
例10,袋中有9个球,分别标有号码1,2,3,4,5,6,7,8,9从中任取3个球,求
(1)所取3个球的最小号码为4的事件A的概率;
(2)所取3个球的最大号码为4的事件B的概率;
解:基本事件总数 (个)
(1)最小号码为4的取法分两步进行
第一步,取出4号球,方法只有1种
第二步,在5,6,7,8,9这5个球中任取2个,方法数为
∴A包含的基本事件
(2)最大码为4的取法为:
第一步,取出4号球方法只有1种
第二步,在1,2,3号球中任取2个,方法数为
∴B包含的基本事件
例11,将两封信投入4个信箱中,求两封信在同一信箱的事件A的概率。
解:(1)先将第一封信投入信箱,有4种方法
再将第二封信投入信箱,也有4种方法
∴根据乘法原则共有4×4种方法
∴基本事件总数n=4×4
(2)将两封信同时投入一个信箱,方法有4种
∴A包含的基本事件数r=4
例12,袋中有10个球,其中有6个白球,4个红球,从中任取3个,求:
(1)所取的三个球都是白球的事件A的概率
(2)所取三个球中恰有2个白球一个红球的事件B的概率
(3)所取3个球中最多有一个白球的事件C的概率
(4)所取3个球颜色相同的事件D的概率
解:基本事件总数
(1)A包含的基本事件数
(2)B包含的基本事件数
(3)C的基本事件包含两类:
第一类,一个白球,二个红球的取法有
第二类,0个白球,三个红球取法有 种
∴事件C包含的基本事件数
(4)事件D包含的基本事件有两类:
第一类,三个球都是白球的取法有 种
第二类,三个球都是红球的取法有 种
∴事件D包含的基本事件数 (种)
(四)概率的加法公式
请先看下面引例:
掷一次骰子,A={1,3,5},B={1,2,3}请求:
(1)P(A);
(2)P(B);
(3)P(A+B);
(4)P(AB)
解:(1)
(2)
(3)
(4)
由本例看出,P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB),本例的结果具有普遍性,下面我们不加证明地介绍下面公式:
特别情形:
(1)如果A与B互斥,即AB=Φ则P(AB)=0
这时
(2)因为A与 有性质
所以
当上面等式中左边的概率P(A)不易求得,而且A的对立事件 的概率 则较易计算时,便可以通过容易计算的 求难计算的概率P(A)。
例1若P(A)=0.5,P(A+B)=0.8,P(AB)=0.3,求P(B)
解:因为P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)
∴P(B)=P(A+B)+P(AB)-P(A)
=0.8+0.3-0.5=0.6
例2,袋中有10件产品,其中有6件正品,4件次品,从只任取3件,求所取3件中有次品的事件A的概率。
解:A表示有次品,它包含有1件次品,有2件次品,有3件次品三类事件,计算比较复杂。
而对立事件 则表示没有次品,即都是正品的事件,比较简单。
因为基本事件总数
事件 包含的基本事件
加法公式可推广如下:
例3,P(A)=0.4,P(B)=0.5,P(C)=0.4,P(AB)=0.2,P(AC)=0.24,P(BC)=0,求P(A+B+C)。
解:
(五)概率的减法公式
因为 ,而 ,而BA与 明显不相容。
特别地,若 ,则有AB=A
所以当
例1 ,已知P(B)=0.8,P(AB)=0.5,求
解:
例2,若A与B互不相容,P(A)=0.5,P(B)=0.3,求
解:(1)P(A+B)=P(A)+P(B)=0.8
根据对偶公式
所以
§1.3 条件概率
(一)条件概率和乘法公式
符号 叫在事件B已经发生的条件下,事件A发生的概率,叫条件概率 ,需要指出
的是 条件概率 仍是事件A的概率,但是它有条件,条件是以B已经发生为前提,或者
是以B已经发生为条件。
例1,某厂有200名职工,男、女各占一半,男职工中有10人是优秀职工,女职工中有20人是优秀职工,从中任选一名职工。
用A表示所选职工优秀,B表示所选职工是男职工。
求(1)P(A);
(2)P(B);
(3)P(AB);
(4) ;
解:(1)
(2)
(3)AB表示所选职工既是优秀职工又是男职工
(4) 表示已知所选职工是男职工。在已知所选职工是男职工的条件下,该职工是优秀职工,这时n=100,r=10
由本例可以看出 事件A与事件 不是同一事件,所以它们的概率不同,即
由本例还可看出, 事件AB与事件 也不相同, 事件AB表示所选职工既是男职工又是优秀职
工,这时基本事件总数n1=200,r=10。而事件 则表示已知所选职工是男职工,所以基本事件总数n2=100,r=10,所以 虽然P(AB)与 不相同,但它们有关系,由本例可以看出
本例的结果具有普遍性。下面我们不加证明地给出下面的乘法公式:
显然有:若P(A)>0则有
将上面的结果改写为整式有
∴
公式 叫概率的乘法公式。
例2,在10件产品中,有7件正品,3件次品,从中每次取出一件(不放回),A表示第一次取出正品,B表示第二次取出正品,求:
(1)P(A);
(2) ;
(3)P(AB)
解(1)
(2)
∴(3) =
例3,若P(AB)=0.3,P(B)=0.5,求
解:
例4,若P(A)=0.8,P(B)=0.4, ,求 。
解:(1)
∴(2)
例5,某人寿命为70岁的概率为0.8,寿命为80岁的概率为0.7,若该人现已70岁时,问他能活到80岁的概率是多少?
解:用A表示某人寿命为70岁,B表示某人寿命为80岁。
已知P(A)=0.8,P(B)=0.7
由于
因为
所以,已经活到70岁的人能活到80岁的概率为0.875
乘法公式可以推广为:
例6,袋中有三件正品,二件次品(√√√××)从中每次取出1件(不放回)共取3次,求第3次才取到次品的事件B的概率。
解:用A1表示第一次取到正品
A2表示第二次取到正品
A3表示第三次取到正品
则
用古典概型计算P(A¬¬1),这时n1=5,r1=3
再用古典概型计算 ,这时n2=4,r2=2
再用古典概型计算 ,这时n3=3,r3=2
(二)全概公式
定义:若事件组 满足条件
(1) 互不相容
(2)在一次试验中,事件组 中至少发生一个,即
就说事件组 是样本空间Ω的一个划分。
例如事件组A与 有 所以事件组 是样本空间的一个划分。
例如某产品由甲、乙、丙三厂分别生产,A1表示该产品由甲厂生产,A2表示该产品由乙厂生产,A3表示该产品由丙厂生产,则事件组A1,A2,A3满足:
(1)
(2)
所以事件组A1,A2,A3是样本空间的一个划分。
下面介绍全概公式
设 是样本空间Ω的一个划分,B是一个事件,则有:
证:∵
又∵ΩB=B
∵ 互不相容
∴ 也互不相容
∴
用乘法公式上式可改写为
特别地(1)若 是Ω的一个划分,则有
(2)∵ 是Ω的一个划分,所以
全概公式的优点是当P(B)不易求而且条件概率容易计算时,可用全概公式求P(B)
例1,袋中有5个球,其中有3个红球,2个白球,从中每次取出一个球(不放回)用A表示第一次取到红球,B表示第二次取到红球,求
(1)P(A);
(2)P(B)
解:(1)用古典概型n=5,r=3
(2)直接求P(B)很困难,因为B发生的概率与事件A发生与之有关,用古典概型容易求得:
所以可用全概公式计算
可见第一次,第二次取到红球的概率相同。
例2,已知男人中有5%是色盲,女人中有1%是色盲,若人群中男女各半。
当在人群中任取一人,问该人是色盲的概率是多少?
解:用B表示该人是色盲者,A表示该人是男人.直接求P(B)比较困难,原因在于该人是色盲的概率与该人的性别有关,但已知
例3,甲乙两台车床加工同一产品,甲车床的次品率为0.03,乙车床的次品率为0.02,又知甲车床的产量是乙车床产量的两倍,现将两台车床的产品放在一起,从中任取一件,求该产品是次品的概率。
解:用B表示该产品是次品,A表示该产品由甲车床生产
已知
例4,二门导弹射击敌机,敌机未被击中的概率为0.25,被击中一弹的概率为0.5,被击中二弹的概率为0.25,若敌机中一弹时被击落的概率为0.7,敌机中二弹时,被击落的概率为0.9。求敌机被击落的概率。
解:用AK表示敌机的被击中K弹,K=0,1,2;B表示敌机被击落
已知
显然有
其中A0,A1,A2是Ω的一个划分
(三)逆概公式(贝叶斯公式)
由 可得
公式
叫逆概公式(贝叶斯公式)
当P(A),P(B), 已知时,可反过来求 。
例5,某地七月份下暴雨的概率为0.7,当下暴雨时,有水灾的概率为0.2;当不下暴雨时,有水灾的概率为0.05,求:
(1)该地七月份有水灾的概率.
(2)当该地七月份已发生水灾时,下暴雨的概率.
解:用B表示该地七月有水灾;
A表示该地七月下暴雨
已知
(1)
(2)
例6,某种产品分别由甲、乙、丙三厂生产,甲厂产量占50%,次品率为0.01,乙厂产量占30%,次品率为0.02,丙厂产量占20%,次品率为0.05,求:
(1)该产品的次品率
(2)若任取一件,该件是次品,求这件次品分别是甲厂、乙厂、丙厂的产品的概率。
解:用B表示产品是次品,A1表示甲厂的产品,A2表示乙厂的产品,A3表示丙厂的产品。
所以 表示已知产品甲厂产品时,该产品是次品
表示已知产品是乙厂产品时,该产品是次品。
表示已知该产品是丙厂产品时,该产品是次品。
则表示已知产品是次品时,它是甲厂产品;
则表示已知产品是次品时,它是乙厂产品;
则表示已知产品是次品时,它是丙厂产品;
∴(1)
(2)
可见,若该产品是次品,则此次品是丙厂产品的可能性最大。
例7,甲袋中有3个白球,2个红球,乙袋中有2个白球,3个红球,先从甲袋中取一个球放入乙袋,再从乙袋中取一个球,求:
(1)从乙袋中取出的球是白球的概率;
(2)如果从乙袋中取出的球是白球,则这时从甲袋中取出白球的概率是多少?从甲袋中取出红球的概率是多少?
解:用B表示从乙袋中取出白球;A表示从甲袋中取出白球,所以 表示从甲袋中取出红球。
已知
(1)
(2)
可见从甲袋中取出白球的可能性大。
例8,已知 ,
求(1)P(AB);
(2)
解:(1)
(2)
例9,若 ;
求(1)P(B);
(2)P(A+B)
解:(1)
(2)
(3)
例10,已知 ;求
解:(1)
(2)
(3)
§1.4 事件的独立性
(一)事件的独立性
(1)定义: 若P(AB)=P(A)P(B),就说事件A与事件B相互独立。
(2)A与B独立的性质
性质一,若A与B独立,则
而若A与B独立,则
证:∵A与B独立,∴P(AB)=P(A)P(B)
(1)当P(A)>0时,
(2)当P(B)>0时,
性质一说明A与B相互独立时,A发生与否,对B发生的概率没有影响,而且,B发生与否也对A发生的概率没有影响。
性质二, 若A与B独立,则有
(1) 与 独立
(2) 与B独立
(3)A与 独立
证:用独立性定义:
(1)∵A与B独立,∴P(AB)=P(A)P(B)
由对偶公式
∴ 与 独立
(2)
∴ 与B相互独立
(3)
∴A与 相互独立
由A与B独立 这一定义可推广有下列结果:
若A,B,C相互独立,则有P(ABC)=P(A)P(B)P(C)
若 相互独立,则有
例1.种子的发芽率为0.98,求三粒种子中至少有一粒发芽的概率。
(解一)用B表示三粒种子中至少有一粒发芽
A1表示第一粒种子发芽
A2表示第二粒种子发芽
A3表示第三粒种子发芽
很明显,A1,A2,A3相互独立
(解二)用对偶公式
例2.甲、乙、丙三人独立破译敌码。甲能破译的概率为 ;乙能破译的概率为 ;丙能破译的概率为 .求密码被破译的概率。
解:用B表示敌码被破译
∴B=甲+乙+丙
例3.某产品由三道工序独立加工而成。第一工序的正品率为0.98;第二工序的正品率为0.99;第三工序的正品率为0.98。求该种产品的正品率和次品率。
解:用B表示产品是正品
A1表示第一工序是正品
A2表示第二工序是正品
A3表示第三工序是正品
∴B=A1A2A3
(1)
(2)
(二)重复独立试验概型
先请看引例:某人射击目标的命中率为P,他向目标射击三枪,求这三枪中恰中二枪的概率。
解:用B表示射击三枪,恰中二枪的事件
A1表示第一枪击中目标
A2表示第二枪击中目标
A3表示第三枪击中目标
其中A1,A2,A3独立
由本例可见 与 , 大小相同都是P2(1-P),总共有三类,相当于从1,2,3这三个数中,任取二个的方法数
由本例可以推广为:
某人射击目标的命中率为P(即每次命中率都是P),他向目标射击n枪,则这n枪中恰中k枪的概率为:
P(射击n枪,恰中k枪)=
一般地,有下面普遍结果:
如果在每一次试验中,事件A发生的概率不变都是P(A)=p,则在这样的n次重复相同的试验中,事件A发生k次的概率的计算公式为:
P(在n次重复试验中,A发生k次)=
其中P表示在每一次试验时,A的概率,记为p=P(A), 习惯用符号Pn(k)表示在n次重复
试验中,事件A发生k次的概率。
例1.一射手对目标独立射击4次,每次射击的命中率P=0.8,求
(1)恰好命中两次的概率;
(2)至少命中一次的概率。
解:(1)
(2)用B表示至少命中1次的事件
则 表示最多命中0次的事件,故 表示恰好命中0次的事件
例2.五台同类型的机床同时独立工作,每台车床在一天内出现故障的概率P=0.1,求在一天内:
(1)没有机床出现故障的概率;
(2)最多有一台机床出现故障的概率。
解:(1)所求概率为:
(2)所求概率为:
例3.在一次试验中,事件A发生的概率为P(A)=0.7,问至少做多少次试验,才能使事件A至少出现1次的概率超过0.99。
解:设所需试验次数为n,它的对立事件为Pn(0)
答:试验次数至少4次
例4,某射手射击目标4次,且知道至少击中一次的概率为 ,求该射手射击1次的命中率P。
解:P(至少射中1次)=1-P(射中0次)
本章考核内容小结
(一)了解随机事件的概率的概念,会用古典概型的计算公式
计算简单的古典概型的概率
(二)知道事件的四种关系
(1)包含: 表示事件A发生则事件B必发生
(2)相等:
(3)互斥: 与B互斥
(4)对立:A与B对立 AB=Φ,且A+B=Ω
(三)知道事件的四种运算
(1)事件的和(并)A+B表示A与B中至少有一个发生
性质:(1)若 ,则A+B=A(2) 且
(2)事件积(交)AB表示A与B都发生
性质:(1)若 ,则AB=B∴ΩB=B且
(2)
(3)事件的差:A-B表示A发生且B不发生
∴ ,且A-B=A-AB
(4) 表示A不发生
性质
(四)运算关系的规律
(1)A+B=B+A,AB=BA叫交换律
(2)(A+B)+C=A+(B+C)叫结合律
(AB)C=A(BC)
(3)A(B+C)=AB+AC叫分配律
(A+B)(A+C)=A+BC
(4) 叫对偶律
(五)掌握概率的计算公式
(1)P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)
特别情形①A与B互斥时:P(A+B)=P(A)+P(B)
②A与B独立时:P(A+B)=P(A)+P(B)-P(A)P(B)
③
推广P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)
(2)
推广:
当事件独立时,
P(AB)=P(A)P(B)
P(ABC)=P(A)P(B)P(C)
P(ABCD)=P(A)P(B)P(C)P(D)
性质若A与B独立 与B,A与 , 与 均独立
(六)熟记全概率公式的条件和结论
若A1,A2,A3是Ω的划分,则有
简单情形
熟记贝叶斯公式
若 已知,则
(七)熟记贝努利重复试验概型的计算公式
本章作业
教材6-7页,习题1.1
1.(1)(2),2.(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7),4,5.(1)(2),6.(1)(2),7
12-13页,习题1.2
1,2,3,4,5,6,7,8.(1)(2)(3)(4),9,10.(1)(2)(3)(4)(5),11,12,13.(1)(2)
17-18页,习题1.3
2,3,4,5,6,7.(1)(2),8,9,10,11,12,13,14
22-23页,习题1.4
1.(1)(2)(3),2,3,4,5,6,7,8,9.(1)(2),10.(1)(2)(3)(4),11,12
24页自测题全部
第二章 随机变量及其变量分布
§2.1 离散型随机变量
(一)随机变量
引例一:掷骰子。可能结果为Ω={1,2,3,4,5,6}.
我们可以引入变量X,使X=1,表示点数为1;x=2表示点数为2;…,X=6,表示点数为6。
引例二,掷硬币,可能结果为Ω={正,反}.
我们可以引入变量X,使X=0,表示正面,X=1表示反面。
引例三,在灯泡使用寿命的试验中,我们引入变量X,使a
例如,1000≤X≤2000 表示灯泡寿命在1000小时与2000小时之间。 0
定义1:若变量X取某些值表示随机事件。就说变量X是随机变量。
习惯用英文大写字母X,Y,Z表示随机变量。
例如,引例一、二、三中的X都是随机变量。
(二)离散型随机变量及其分布律
定义2 若随机变量X只取有限多个值或可列的无限多个(分散的)值,就说X是离散型随机变量。例如,本节中的引例一、引例二的X是离散型随机变量。
定义3 若随机变量X可能取值为 且有 (k=1,2,…,n,…)
或有
其中,第一行表示X的取值,第二行表示X取相应值的概率。
就说公式 (k=1,2,…,n,…)
或表格
是离散型随机变量x的(概率)分布律,记作
分布律 有下列性质
(1) ;(2)
由于事件 互不相容。而且 是X全部可能取值。
所以
反之,若一数列 具有以上两条性质,则它必可以作为某随机变量的分布律。
例1 设离散型随机变量X的分布律为
求常数c。
解 由分布律的性质知
1=0.2+c+0.5,
解得c=0.3.
例2 掷一枚质地均匀的骰子,记X为出现的点数,求X的分布律。
解 X的全部可能取值为1,2,3,4,5,6,且
则X的分布律为
在求离散型随机变量的分布律时,首先要找出其所有可能的取值,然后再求出每个值相应的概率。
例3 袋子中有5个同样大小的球,编号为1,2.,3,4,5。从中同时取出3个球,记X为取出的球的最大编号,求X的分布率。
解 X的取值为3,4,5,由古典概型的概率计算方法,得
(三个球的编号为1,2,3)
(有一球编号为4,从1,2,3中任取2个的组合与数字4搭配成3个)
(有一球编号为5,另两个球的编号小于5)
则X的分布律为
例4 已知一批零件共10个,其中有3个不合格,今任取一个使用,若取到不合格零件,则丢弃掉,再重新抽取一个,如此下去,试求取到合格零件之前取出的不合格零件个数X的分布率。
解 X的取值为0,1,2,3,设 表示“第i次取出的零件是不合格的”,利用概率乘法公式可计算,得
故X的分布率为
在实际应用中,有时还要求“X满足某一条件”这样的事件的概率,比如 等,求法就是把满足条件的 所对应的概率 相加可得,如在例2中,求掷得奇数点的概率,即为
P{X=1,或3,或5} =P{X=1}+ P{X=3}+ P{X=5}=
在例4中,
P{X≤1}= P{X=0}+ P{X=1}= ,
P{X>1}= P{X=2}+ P{X=3}= ,
P{1≤X<2.5}= P{X=1}+ P{X=2}= ,
例5 若X的分布律为
求(1)P(X<2),
(2)P(X≤2),
(3)P(X≥3),
(4)P(X>4)
解(1)P(X<2)=P(X=0)+P(X=1)=0.1+.02=0.3
(2) P(X≤2)= P(X=0)+P(X=1) +P(X=2)=0.1+0.2+0.2=0.5
(3) P(X≥3)= P(X=3)+P(X=4) =0.3+0.2=0.5
(4)∵{x>4}=Φ
∴P{x>4}=0
(三)0-1分布与二项分布
下面,介绍三种重要的常用离散型随机变量,它们是0-1分布、二项分布与泊松分布。
定义4 若随机变量X只取两个可能值:0,1,且P{X=1}=p, P{X=0}=q
其中0
在n重贝努利试验中,每次试验只观察A是否发生,定义随机变量X如下:
因为 ,所以X服从0-1分布。0-1分布是最简单的分布类,任何只有两种结果的随机现象,比如新生儿是男是女,明天是否下雨,抽查一产品是正品还是次品等,都可用它来描述。
例6 一批产品有1000件,其中有50件次品,从中任取1件,用{X=0}表示取到次品,{X=1}表示取到正品,请写出X的分布律。
解
定义5 若随机变量X的可能取值为0,1,…,n,而X的分布律为
;
其中 ,则称X服从参数为n,p的二项分布,简记为X~B(n,p)。
显然,当n=1时,X服从0-1分布,即0-1分布实际上是二项分布的特例。
在n重贝努利试验中,令X为A发生的次数,则
;
即X服从参数为n,p的二项分布。
二项分布是一种常用分布,如一批产品的不合格率为p,检查n件产品,n件产品中不合格品数X服从二项分布;调查n个人,n个人中的色盲人数Y服从参数为n,p的二项分布,其中p为色盲率;n部机器独立运转,每台机器出故障的概率为p,则n部机器中出故障的机器数Z服从二项分布,在射击问题中,射击n次,每次命中率为p,则命中枪数X服从二项分布。
例7 某特效药的临床有效率为0.95,今有10人服用,问至少有8人治愈的概率是多少?
解 设X为10人中被治愈的人数,则X~B(10,095),而所求概率为
例8 设X~B(2,p),Y~B(3,p)。设 ,试求P{Y≥1}.
解 ,知 ,即
由此得 .
再由 可得
例9 考卷中有10道单项选择题,每道题中有4个答案,求某人猜中6题以上的概率。
解: 已知猜中率 ,用X表示猜中的题数 则
在计算涉及二项分布有关事件的概率时,有时计算会很繁,例如n=1000,p=0.005时要计算 就很困难,这就要求寻求近似计算的方法。下面我们给出一个n很大、p很小时的近似计算公式,这就是著名的二项分布的泊松逼近。有如下定理。
泊松(Poisson)定理 设λ>0是常数,n是任意正整数,且 ,则对于任意取定的非负整数k,有
证明略。
由泊松定理,当n很大,p很小时,有近似公式 ,
其中λ=np.
在实际计算中,当n≥20,p≤0.05时用上述近似公式效果颇佳。
例10 一个工厂中生产的产品中废品率为0.005,任取1000件,计算:
(1)其中至少有两件是废品的概率;
(2)其中不超过5件废品的概率。
解 设X表示任取得1000件产品中的废品中的废品数,则X~B(1000,0.005)。利用近似公式近似计算,λ=1000×0.005=5.
(1)
(2)
(四)泊松分布
定义6 设随机变量X的可能取值为0,1,…,n,…,而X的分布律为
其中λ>0,则称X服从参数为λ的泊松分布,简记为X~p(λ)
即若X~p(λ),则有
例11 设X服从泊松分布,且已知P{X=1}= P{X=2},求P{X=4}.
解 设X服从参数为λ的泊松分布,则
由已知,得
解得λ=2,则
§2.2 随机变量的分布函数
(一)分布函数的概念
对于离散型随机变量X,它的分布律能够完全刻画其统计特性,也可用分布律得到我们关心的事件,如 等事件的概率。而对于非离散型的随机变理,就无法用分布率来描述它了。首先,我们不能将其可能的取值一一地列举出来,如连续型随机变量的取值可充满数轴上的一个区间(a,b),甚至是几个区间,也可以是无穷区间。其次,对于连续型随机变量X,取任一指定的实数值x的概率都等于0,即P{X=x}=0。于是,如何刻画一般的随机变量的统计规律成了我们的首要问题。
定义1 设X为随机变量,称函数F(x)=P{X≤x},x∈(-∞,+ ∞) 为X的分布函数。
注意,随机变量的分布函数的定义适应于任意的随机变量,其中也包含了离散型随机变量,即离散型随机变量既有分布律也有分布函数,二者都能完全描述它的统计规律性。
例1 若X的分布律为
求(1)F(1),
(2)F(2.1),
(3)F(3),
(4)F(3.2)
解 由分布函数定义知F(x)=P(X≤x)
∴(1)F(1)=P(X≤1)=P(X=0)+ P(X=1)=0.3
(2)F(2.1)= P(X≤2.1)=P(X=0)+ P(X=1) + P(X=2)=0.6
(3)F(3) = P(X≤3)=P(X=0)+ P(X=1) + P(X=2) + P(X=3)=0.2+0.1+0.3+0.3=0.9
(4)F(3.2)= P(X≤3.2)=1- P(X>3.2)=1- P(X=4) =1-0.1=0.9
例2 设离散型随机变量X的分布律为
求X的分布函数
解
当x<-1时,F(x)=P{X≤x}=P(X<-1)=0
当-1≤x<0时,F(x)=P{X≤x}=P{X= -1}=0.2
当0≤x<1时,F(x)=P{X≤x}=P{X= -1}+ P{X=0}=0.2+0.1=0.3
当1≤x<2时,F(x)=P{X≤x}=P{X= -1}+ P{X=0}+ P{X=1}=0.2+0.1+0.3=0.6
当x≥2时,F(x)=P{X≤x}=P{X= -1}+ P{X=0}+ P{X=1}+ P{X=2}=0.2+0.1+0.3+0.4=1
则X的分布函数F(x)为
F(x)的图象见图2.1。
从F(x)的图像可知,F(x)是分段函数,y=F(x)的图形阶梯曲线,在X的可能取值-1,0,1,2处为F(x)的跳跃型间断点。
一般地, 对于离散型随机变量X,它的分布函数F(x)在X的可能值 处具有跳
跃,跳跃值恰为该处的概率 ,F(x)的图形是阶梯形曲线,F(x)为分段函数,分段点仍是 。
另一方面,由例2中分布函数的求法及公式(2.2.1)可见,分布函数本质上是一种累计概率。
一般地,若X的分布律是
则有X的分布函数为
公式:
所以,例2中X的分布函数为
(二)分布函数的性质
分布函数有以下基本性质:
(1)0≤F(x) ≤1.
由于F(x) =P{X≤x},所以0≤F(x) ≤1.
(2)F(x)是不减函数,即对于任意的 有
因为当 时, ,即
从而
(3)F(-∞)=0,F(+∞)=1,即
从此,我们不作严格证明,读者可从分布函数的定义F(x) =P{X≤x}去理解性质(3)。
(4)F(x)右连续,即
证明略。
例2 设随机变量X的分布函数为
其中λ>0为常数,求常数a与b的值。
解 ,由分布函数的性质F(+∞)=1,知a=1;又由F(x)的右连续性,得到
由此,得b= -1.
已知X的分布函数F(x),我们可以求出下列重要事件的概率:
1°P{X≤b}=F(b).
2°P{a
3°P{X>b}=1-F(b)
证 1°∵F(x)=P{X≤x}
∴F(b)=P{X≤b}
2°P{a
= F(b)-F (a)
3°P{X>b}=1- P{X≤b}=1- F(b)
例3 设随机变量X的分布函数为
求
解
例4 求0-1分布的x的分布函数
解:已知
所以
例5 设X~F(x)=a+barctanx(-∞
求 (1)a与b
(2)P(-1
解:(1)∵F(-∞)=0,F(+∞)=1
解得 ,
(2)
§2.3 连续型随机变量及概率密度
(一)连续型随机变量及其概率密度
定义 若随机变量X的分布函数为
其中f(t)≥0。
就是说X是连续型随机变量,并且非负函数f(x)是连续型随机变量X的概率密度函数,简称概率密度。
由连续型随机变量及概率密度函数的定义知概率密度有下列性质
(1)
(2)
(3) (a≤b)
前面已曾经证明,由于连续型随机变量是在一个区间或几个区间上连续取值,所以它在任何一点上取值的概率为零,即
若X是连续型随机变量则有P(X=x)=0,其中X是任何一个实数。
∴有
(4)f(x)≥0
证(1)在微积分中已知积分上限的函数 对上限x的导数
它说明分布函数是概率密度的原函数,并且证明连续型随机变量的分布函数F(x)是处处可导函数,所以连续型随机变量的分布函数F(x)处处连续。
(2)
(3)∵P(a
因为F(x)是f(x)的原函数
因此,对连续型随机变量X在区间上取值的概率的求法有两种:
(1)若F(x)已知,则P(a
(2)若f(x)已知,则P(a
例1 设
求(1)c
(2)
解(1)
而 时,p(x)=0,
(2)
例2.设连续函数变量X的分布函数为
求:
(1)X的概率密度f(x);
(2)X落在区间(0.3,0.7)的概率。
解:(1)
(2)有两种解法:
或者
例2-1 若
解:
例2-2 若 求x~f(x)
解:
例2-3,若
解:
例3.若
解:(1)x≤0时,f(x)=0,
(2)0<x<1时,
(3)1≤x时,
注2.分段函数要分段求导数,分段求积分。
例4.设某种型号电子元件的寿命X(以小时计)具有以下的概率密度。
现有一大批此种元件,(设各元件工作相互独立),问:
(1)任取一只,其寿命大于1500小时的概率是多少?
(2)任取四只,四只元件中恰有2只元件的寿命大于1500的概率是多少?
(3)任取四只,四只元件中至少有1只元件的寿命大于1500的概率是多少?
解:(1)
(2)各元件工作相互独立,可看作4重贝努利试验,观察各元件的寿命是否大于1500小时,令Y表示4个元件中寿命大于1500小时元件个数,则 ,所求概率为
(3)所求概率为
3.2 均匀分布与指数分布
以下介绍三种最常用的连续型概率分布,均匀分布、指数分布和正态分布,本小节先介绍前两种。
定义2.若随机变量X的概率密度为
则称X服从区间[a,b]上的均匀分布,简记为X~U(a,b)
容易求得其分布函数为
均匀分布的概率密度f(x)和分布函数F(x)的图像分别见图2.3和图2.4
均匀分布的概率密度f(x)在[a,b]内取常数 ,即区间长度的倒数。
均匀分布的均匀性是指随机变量X落在区间[a,b]内长度相等的子区间上的概率都是相等的。
均匀分布的概率计算中有一个概率公式。
设 ,则
使用这个公式计算均匀分布的概率很方便,比如,设 ,则
例5.公共汽车站每隔5分钟有一辆汽车通过,乘客在5分钟内任一时刻到达汽车站是等可能的,求乘客候车时间在1到3分钟内的概率。
解:设X表示乘客的侯车时间,则X~U(0,5),其概率密度为
所求概率为
定义3.若随机变量X的概率密度为
其中λ>0为常数,则称X服从参数为λ的指数分布,简记为 ,其分布函数为
f(x)和F(x)的图形分别见图2.5和图2.6
指数分布常被用作各种“寿命”的分布,如电子元件的使用寿命、动物的寿命、电话的通话时间、顾客在某一服和系统接受服务的时间等都可以假定服从指数分布,因而指数分布有着广泛的应用。
例:若某设备的使用寿命X(小时)~E(0.001)求该设备使用寿命超过1000小时的概率。
解:∵λ=0.001
∴
∴P(1000<X)=P(1000<X<+∞)
=F(+∞)-F(1000)=1-{1-e-1}=e-1=
(三)正态分布
定义4.若随机变量X的概率密度为
其中μ,σ2为常数,-∞<μ<+∞,σ>0,则称X服从参数为μ,σ2的正态分布,简记为X~N(μ,σ2)
f(x)的图形见图2.7
习惯上,称服从正态分布的随机变量为正态随机变量,又称正态分布的概率密度曲线为正态分布曲线。
设X~N(μ,σ2),则X的分布函数为
特别地,当μ=0,σ=1时的正态分布称为标准正态分布N(0,1)。为区别起见,标准正态分布的概率密度和分布函数分别记为 ,即
的图象见图2.8
显然, 的图象关于y轴对称,且 在x=0处取得最大值 。
通